Sulistio Adi's Personal Page

Berbagi dalam bermatematika, berbudaya dan belajar

Proposisi 26
Jika dua segitiga memiliki dua sudut yang sama besar, dan sebuah sisi bersesuaian yang sama besar, baik sisi yang diapit sudut tersebut maupun sisi yang menghadap salah satu sudut, maka sisi-sisi lain di segitiga-segitiga tersebut yang bersesuaian juga sama besar, begitu pula dengan sudut yang ketiga.


Diberikan ABC dan DEF dua segitiga yang memiliki dua sudut, yakni ABC dan BCA yang sama besar dengan sudut DEF dan FDE, ABC dengan DEF, BCA dengan FDE. Segitiga-segitiga tersebut juga memiliki satu sisi bersesuaian yang sama besar. Misal BC sama dengan EF. Maka kita akan tunjukkan bahwa sisi lain yang bersesuaian juga sama besar. Yakni AB dengan DE, AC dengan DF. Juga sudut yang ketiga akan sama besar (sudut BAC dengan EDF).

Bila AB tidak sama dengan DE, maka salah satunya lebih besar. Misal AB lebih besar, kemudian kita buat BG sama besar dengan DE (prop 1.3), lalu hubungkan GC.

Karena BG sama dengan DE, dan BC sama dengan EF, maka sudut GBC sama besar dengan sudut DEF. Jadi, alas GC juga sama dengan DF, dan segitiga GBC sama besar dengan segitiga DEF, dan sudut yang berhadapan dengan sisi yang sama besar juga sama besar (prop 1.4). Yakni, GCB sama besar dengan DFE, faktanya ABC sama besar dengan DFE, jadi  BCG juga sama besar dengan BCA yang tentu tidak mungkin. Jadi anggapan AB tidak sama dengan DE adalah tidak mungkin dari yang diberikan. Karena AB sama besar dengan DE, dan BC dengan EF serta sudut ABC sama besar dengan sudut DEF, maka AC sama besar dengan DF, segitiga ABC sama besar dengan DEF, dan ukuran-ukuran sudut yang bersesuaian sama besar (prop 1.4).

Kemudian, kita akan membuat anggapan dengan sisi di depan salah satu sudut yang sama. Sebagai contoh, AB sama besar dengan DE, seperti sebelumnya, sisi-sisi bersesuaian yang lain akan sama besar. AC dengan DF, dan BC dengan EF. Selain itu, sudut BAC juga sama besar dengan sudut EDF.

Jika BC tidak sama besar dengan EF tentu salah satu akan lebih besar. Jika mungkin, maka BC lebih besar. Kemudian dibuat BH yang sama dengan EF (prop 1.3), kemudian AH kita hubungkan. Sejak BH sama besar dengan EF, dan AB juga dengan DE, padahal sudut yang mereka apit juga sama, maka alas (sisi yang lain) juga sama besar, AH dengan DF, segitiga ABH sama besar dengan segitiga DEF, serta sudut yang menghadap sisi-sisi yang sama tersebut juga sama besar (prop 1.4) maka sudut BHA sama dengan sudut EFD. Padahal EFD sama dengan BCA. Maka pada segitiga AHC, sudut eksternal BHA sama dengan sudut Internal dan berseberangan BCA, yang sangat tidak mungkin (prop 1.16). Maka BC tidak sama dengan EF. Karena AB juga sama dengan DE, dan sudut yang diapit pun sama besar, maka kedua segitiga itu juga sama besar, begitu pun sisi-sisi dan sudut-sudut sisanya (prop 1.4).

Jadi, jika dua segitiga memiliki dua sudut yang sama, serta satu sisi yang sama besar, baik pada kasus sisi yang diapit dua sudut tersebut maupun sisi yang berhadapan dengan salah satu sudut itu, sisi dan sudut yang tersisa sama besar bagi yang bersesuaian.


sebelumnya | kembali | berikutnya